Demostrar teoremas: del valor medio de Rolle y de Lagrange; fundamentales cálculo integral.
Calcular: derivadas por definición, por tabla y por reglas de combinación; integrales indefinidas como antiderivadas, por tablas y por reglas que rigen pertenencias a una clasificación; integrales definidas e integrales impropias.
Determinar condiciones de convergencia y divergencia de series a partir de sus representaciones simbólicas.
Calcular sucesiones y series numérica con errores menores a uno dado.
Explicar, con los conceptos presentados en la materia, interpretaciones y paradojas de la historia de la matemática (Concepto de función según Frege y sus implicaciones semánticas; las interpretaciones de Leibniz y Newton de la derivada; crítica de Berkley a los infinitesimales y la defensa de Taylor; concepto de límite según Cauchy; crítica de la escuela intuicionista a la noción de infinito de Cantor; el ojo de Horus y las paradojas de Zenón de Elea; construcción de series de máquinas y equipos con Números Normales)
Aproximar funciones con polinomios, evaluando los intervalos de aproximación y los errores.
Modelar fenómenos naturales químicos, físicos y biológicos (viento zonda; control de poblaciones; determinar edades de objetos, expansiones de derrames de petróleo en agua; optimizar sistemas de transporte que utilizan motores de combustión interna; determinar las velocidades de descenso de aviones; determinar acumulaciones de agua en diques emplazados en ríos con régimen estacional; determinar consumos estacionales de electricidad, gas, (otros) a partir de la curva de consumo; determinar longitudes de cables extendidos que cuelgan; calcular volúmenes y áreas de curvas que rotan y otros).
Optimizar soluciones de problemas.

Contenidos del Programa Analítico:

La referencia (*) significa que el teorema o la propiedad debe ser demostrada.

RELACIONES Y FUNCIONES

• Números reales, representación en la recta real. Intervalos, inecuaciones. Valor absoluto, propiedades. Entornos. Coordenadas cartesianas en el plano. Incrementos y distancia. La recta, elementos, paralelismo y perpendicularidad.
• Funciones: definición, dominio e imagen. Dominio natural. Graficación. Operaciones con funciones. Funciones pares e impares. Traslación de gráficas. Reflexiones sobre los ejes cartesianos. La función inversa.
• Funciones especiales. Funciones algebraicas y trascendentes: potenciales, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas. Características: monotonía, acotamiento, periodicidad, ceros. Representaciones gráficas. Funciones dadas en forma explícita e implícita.

 

LÍMITES Y CONTINUIDAD

• Definición de límite funcional finito. Interpretación geométrica. Búsqueda algebraica de épsilon y delta. Álgebra de límites. Propiedades de los límites finitos. Límites laterales. Límites infinitos. Generalizaciones del concepto de límite. Indeterminaciones. Equivalencia entre x, sen(x) y tg(x) para x tendiendo a 0.
• Continuidad de una función en un punto. Discontinuidades. Clasificación. Operaciones con funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado. Teoremas de Bolzano, Weierstrass y del valor intermedio.
• Determinación de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

DERIVADAS Y DIFERENCIALES

• Recta secante y recta tangente a una curva. Razón de cambio. Derivada simbólica de una función en un punto. Interpretación geométrica. Derivadas laterales. Derivadas infinitas y recta tangente vertical. Curvas suaves y puntos angulosos. Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.
• La función derivada. Continuidad y derivabilidad de una función. Álgebra de derivadas: suma (*), producto (*), cociente y derivada de la función compuesta. Derivada de la función logarítmica. Derivada de la función seno. Derivadas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas. Derivada de la función inversa (*). Derivada de una función en forma implícita. Método logarítmico de derivación (*). Diferencial de una función. Interpretación geométrica. Diferenciales sucesivos.
• Determinación del crecimiento de funciones con la derivada primera. Concavidad. Relación entre la derivada segunda y la concavidad. Derivadas sucesivas.

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

• Extremos relativos y absolutos de una función. Condición necesaria de extremos relativos o locales. Determinación de puntos críticos. Criterios para la determinación de extremos relativos. Puntos de inflexión.
• Teoremas del Valor Medio: Rolle (*), Lagrange (*) y Cauchy. Regla de L'Hôspital y sus extensiones.

 

INTEGRALES

• La integral indefinida como antiderivada de una función. Propiedades. Tabla de integrales indefinidas inmediatas. Algunos métodos simbólicos de Integración: descomposición, sustitución, por partes (*) y descomposición en fracciones simples. Integración de funciones trigonométricas, e irracionales.
• Sumas de Riemann: sumas superiores e inferiores. Partición y norma de la partición, refinamientos. La integral definida según Riemann. Propiedades. Teorema del valor medio (*).Teorema fundamental del Cálculo Integral (*). Regla de Barrow (*). Cambio de variables. Métodos para la integral definida.

APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL

• El área bajo una curva. Área entre dos curvas. Longitud de un arco de curva (*). Área de un cuerpo de revolución. Volumen de un cuerpo de revolución (*).
• Integrales impropias: definición. Integrales convergentes y divergentes.

 

SUCESIONES Y SERIES

• Definición de Sucesiones numéricas. Ejemplos. Límite de una sucesión. Interpretación gráfica. Sucesiones convergentes y divergentes. Sucesiones monótonas y acotadas. Teorema de las sucesiones monótonas.
• Sumas parciales Series numéricas. Convergencia y divergencia. Condición necesaria de convergencia. Serie geométrica. Serie p. Criterios de convergencia: de la razón o de D'Alambert, de Raabe y de Cauchy (o de la raíz). Serie alternada. Criterio de Leibniz. Convergencia absoluta y condicional.
• Fórmulas de Taylor y de Mac Laurin. Término complementario de Lagrange. Acotación del error en el cálculo del valor de una función en un punto. Serie de potencia. Estudio de la convergencia y radio de convergencia. Series de Taylor y de Mac Laurin.

Trabajos Prácticos: Nº 1: Funciones.
Nº 2: Límite de funciones. Continuidad y asíntotas Nº 3: Derivadas y diferenciales.
Nº 4: Aplicaciones del cálculo diferencial.
Nº 5 Teoremas del valor medio. Regla de L’Hôspital Nº 6: Integrales indefinidas.
Nº 7: Integrales definidas.
Nº 8: Aplicaciones del cálculo integral.
Nº 9: Sucesiones, series y series de potencias.

Metodología y Estrategias utilizadas:

Se utilizará una metodología de enseñanza-aprendizaje con la participación activa del alumno en clases teóricas, teórico-prácticas, y prácticas, con actividades individuales y grupales de discusión y análisis bibliográfico, resolución de ejercicios y problemas matemáticos y empíricos, con una selección de problemas de ingeniería de integran diversos temas.