Distribuciones de Probabilidad de Variables Aleatorias Continuas
Probabilidad y Estadística - Facultad Reginal Mendoza - UTN
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Para la distribución UNIFORME CONTINUA se cumple que:
Si X es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente, los CUARTILES inferior y superior son coincidentes.
Dado que la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria uniforme continua X en el intervalo [A,B], es constante, tiene VARIANZA nula.
La función de densidad de una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo [A,B] es SESGADA a la derecha.
Si una variable aleatoria continua X está distribuida uniformemente en el intervalo [A,B], la probabilidad de que tome valores EN INTERVALOS DE IGUAL LONGITUD dentro de su rango, es la misma.
Para la distribución NORMAL se cumple que:
Para algunos valores particulares de los parámetros de la distribución normal, la curva de la función de densidad de probabilidad puede presentar más de una MODA.
Si X ~ N (x,µ,σ), media, mediana y moda coinciden.
La curva de la distribución normal tiene sus PUNTOS DE INFLEXIÓN en correspondencia con los valores de la variable ubicados alrededor de la media, a una distancia de ± 2σ.
Una variable aleatoria X distribuida normalmente está definida sólo para VALORES POSITIVOS de la misma.
(Nota: para responder este ítem NO DEBE USAR TABLAS, debe memorizar valores los valores que aquí se tratan). En relación con el área bajo la curva de la distribución NORMAL, es correcto concluir que:
La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con media µ y varianza σ², tome valores entre µ ± 2σ es igual a 0,997.
La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con media µ y varianza σ², tome valores entre µ ± 3σ es igual a 0,955.
La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con media µ y varianza σ², tome valores entre µ ± σ es igual a 0,683.
La probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente asuma valores mayores que el cuartil superior, es igual a la probabilidad de que asuma valores inferiores a la mediana.
En relación con el efecto de los parámetros en la gráfica de la distribución NORMAL, se cumple que:
Si graficamos dos curvas normales con la misma desviación estándar y medias diferentes, las dos curvas estarán centradas en la misma posición del eje de la variable, y tendrán la misma forma.
La función de densidad de una variable aleatoria normal, f(x), es más chata y se extiende más sobre el eje de la variable, mientras mayor sea su varianza.
La curva de la función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la media.
A medida que aumenta la desviación estándar de una distribución normal, manteniendo constante la media, la curva de distribución normal pierde su simetría.
En relación con el cálculo de probabilidades en la distribución NORMAL y su representación gráfica, es correcto afirmar que:
La probabilidad de que una variable aleatoria normal tome el particular valor "x", se puede leer en el eje de ordenadas, es decir, es f(x).
La probablidad de que una variable aleatoria X ~ N (x,µ,σ) tome valores entre los particulares valores x1 y x2, está representada por el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad comprendida entre x1 y x2.
La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal tome valores menores que x1, es menor que la probablidad de que tome valores menores o iguales que x1.
Teniendo en cuenta la relación entre la distribución NORMAL, la distribución NORMAL ESTÁNDAR y las medidas de POSICIÓN, es correcto afirmar que:
La probablidad de que una variable aleatoria X ~ N (x, µ=4, σ=2) tome valores entre 4.5 y 5.5 es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria NORMAL ESTÁNDAR tome valores entre 0.25 y 0.85.
El PERCENTIL setenta y cuatro de la variable normal estándar es igual a 0.64. (Nota: para responder debe utilizar tablas).
El quinto decil de una variable NORMAL ESTÁNDAR es igual a 0.5.
El percentil treinta y tres de CUALQUIER VARIABLE ALEATORIA NORMAL es igual a -0.44. (Nota: para responder debe utilizar tablas).
En relación con la aproximación de la distribución BINOMIAL utilizando la NORMAL, es correcto afirmar que:
Dado que la distribución binomial siempre resulta simétrica, siempre se pueden obtener buenos resultados, calculando probabilidades binomiales utilizando la distribución normal.
La distribución binomial se aproxima bien por la normal cuando el tamaño de la muestra es pequeño, independientemente del valor que tome el parámetro p.
En la práctica, si se cumple simultánemente que np ≥ 5 y nq ≥ 5, la aproximación normal para evaluar probabilidades binomiales será aceptable.
En relación con la distribución GAMMA, se cumple que:
Para cualquier valor de los parámetros α y β, la distribución GAMMA resulta siempre sesgada a la derecha.
Para β =1, a medida que aumenta α, la distribución GAMMA tiende a cambiar su forma de sesgada a la derecha a simétrica.
La media y la varianza de la distribución GAMMA son αβ² y αβ, respectivamente.
La función de densidad de probabilidades, f(x), de una variable aleatoria continua X que tiene una distribución GAMMA, con parámetros α y β, es igual a 1 para todo x< 0.
En relación con la distribución EXPONENCIAL, se cumple que:
La media y la varianza de la distribución EXPONENCIAL son β y 1/β respectivamente.
La distribución EXPONENCIAL es el caso particular de la distribución GAMMA para la cual α=2.
La función de densidad de probabilidad, f(x), de una variable aleatoria continua X que tiene una distribución EXPONENCIAL con parámentro β, es igual a uno para todo x< 0.
La función de densidad de probabilidad, f(x)=λe^(-λx) es la función de densidad de probabilidad de la distribución EXPONENCIAL con λ=1/β.
En relación con la distribución JI-CUADRADA, se debe afirmar que:
La media y la desviación estándar de la distribución JI-CUADRADA son v y 2v respectivamente, siendo v el número de grados de libertad.
Los parámetros de la distribución JI-CUADRADA son el tamaño de la muestra n y el número de grados de libertad v.
La distribución JI-CUADRADA está definida, con valores distintos de 0, para valores de la variable aleatoria comprendidos entre -∞ y +∞.
Si graficamos dos funciones de densidad de probabilidad de variables aleatorias con distribución JI-CUADRADA, donde la media de la primera es menor que la media de la segunda, la curva de la segunda será más chata y se extenderá más sobre el eje de la variable.
En relación con la distribución LOGARÍTMICA NORMAL, se debe concluir que:
La variable aleatoria continua X tiene una distribución LOGARÍTMICA NORMAL si la variable Y=ln(X) tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar σ.
La función de densidad de probabilidad, f(x), de una variable aleatoria continua con distribución LOGARÍTMICA NORMAL es simétrica.
La media y la desviación estándar de la distribución LOGARÍTMICA NORMAL son: e^[(µ+σ²)/2] y e^(2µ+σ²).[e^(σ²)-1]. (Nota: para responder puede utilizar la tabla de fórmulas).
La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución LOGARÍTMICA NORMAL asuma valores mayores que el percentil 95, es igual al ln(0,05).
En relación con la distribución de WEIBULL, es correcto afirmar que:
La función de densidad de una variable aleatoria con distribución de WEIBULL, es siempre simétrica respecto de un eje vertical que pasa por la media.
Los parámertros de la distribución de WEIBULL son α y β.
La distribución WEIBULL está definida para valores de la variable aleatoria comprendidos entre -∞ y +∞.
Si se tiene que X es una variable aleatoria con distribución WEIBULL y que Y es una variable aleatoria con distribución LOGARÍTMICA NORMAL, el percentil 80 de X resultará igual al percentil 80 de Y.
En relación con la distribución t deStudent, es correcto afirmar que:
Una variable aleatoria con distribución t se define como el cociente entre una variable aleatoria normal estándar y la raíz cuadrada del cociente entre una variable aleatoria con distribución ji-cuadrada y su número de grados de libertad, siendo las variables independientes.
Cuando el parámetro de la distribución t se obtiene a partir del tamaño de la muestra seleccionada, para valores de n ≤ 30 la distribución t y la distribución normal estándar coinciden.
La distribución t de Student tiene aplicación en el cálculo de probabilidades en distribuciones normales, en las cuales se conoce la desviación estándar poblacional.
A medida que el valor del parámetro de la distribución t disminuye, la dispersión (variabilidad) de la curva correspondiente también disminuye.
En relación con la distribución F, es correcto afirmar que:
La distribución F depende de dos parámetros, v1 y v2, llamados grados de libertad del numerador y del denominador.
En la distribución F no es importante tener en cuenta el orden de los parámetros.
La curva de densidad de la distribución F es simétrica respecto de un eje que pase por la media de la distribución.
La estadística F se define como el cociente entre dos variables aleatorias normales independientes divididas, cada una, por su grado de libertad.
En el caso de COMBINACIONES LINEALES de variables aleatorias, es correcto afirmar que:
La distribución normal posee la propiedad reproductiva, esto es, el producto de variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, es una variable aleatoria normal.
Si X1, X2,...Xn, son variables aleatorias independientes que tienen, respectivamente, distribuciones ji-cuadradas con v1, v2,...vn grados de libertad, entonces la variable aleatoria que resulta de la suma de las variables independientes: W=X1+X2+...Xn, tiene una distribución normal con media igual a la suma de las medias y varianza igual a la suma de las varianzas de la variable Xi.
La suma del cuadrado de variables aleatorias normales estándar independientes, tiene una distribución ji-cuadrada, con parámetro igual al número de variables normales estándar cuyos cuadrados se suman.