Pagina nueva 1

Atrás Principal

Se deben verificar las: E.E.I., E.E.C. y E.D.C como condición necesaria y suficiente (Teorema de la unicidad de la solución elástica).

Verificación de las Ecuaciones de Equilibrio Interno (E.E.I.) en tensiones:

Las ecuaciones a verificar son:

t_xy = t_yx

t_xz = t_zx

t_yz = t_zy

Las tensiones tangenciales se igualan de a pares por el Principio de reciprocidad de las tensiones.

Eliminando los terminos nulos, nos queda:

(porque ambas no dependen de Z y su derivada es nula)

Verifica

Cara 5 y 6

Verifica

Por lo tanto se verifican las ecuaciones de equilibrio interno en tensiones.

Verificación de las Ecuaciones de Equilibrio en el Contorno (E.E.C.) en tensiones:

Las ecuaciones a verificar son:

Construimos la siguiente tabla, la que para este caso no es tan necesaria ya que el prisma estudiado es de geometría regular, pero para geometrías irregulares y complicadas es una buena manera de representar el sólido estudiado y reduce las posibilidades de error.

Cara	GEOMETRIA						FUERZAS DE CONTORNO
Cara	cos a	cos b	cos g	X	Y	Z	Xc	Yc	Zc
1	1	0	0	a/2	-b/2 £ y £ b/2	0 £ z £ h	0	0	0
2	-1	0	0	-a/2	-b/2 £ y £ b/2	0 £ z £ h	0	0	0
3	0	1	0	-a/2 £ x £ a/2	b/2	0 £ z £ h	0	0	0
4	0	-1	0	-a/2 £ x £ a/2	-b/2	0 £ z £ h	0	0	0
5	0	0	1	-a/2 £ x £ a/2	-b/2 £ y £ b/2	Z	-Mt.y/J_P	Mt.y/J_P	0
6	0	0	-1	-a/2 £ x £ a/2	-b/2 £ y £ b/2	0	Mt.y/J_P	-Mt.y/J_P	0

Eliminamos los terminos nulos:

Cara 1, 2, 3, 4: cos g = 0

Verifica

Cara 1:

No Verifica

Cara 2:

No Verifica

Cara 3:

No Verifica

Cara 4:

No Verifica

Cara 5:

Verifica

Cara 6:

Verifica

Por lo tanto no se verifican las ecuaciones de equilibrio en el contorno.

Verificación de las Ecuaciones De Compatibilidad (E.D.C.) en tensiones:

Utilizaremos las ecuaciones de Beltrami (debido a que X_m=Y_m= 0 y Z_m = - Pe, es una constante)

donde n = Coeficiente de Poisson.

Siendo (tensión cúbica: en un determinado punto la suma de las tensiones s_x, s_y, s_z es siempre el mismo valor s).

Recordando que

Dado que t_zx = f(y) lineal

que t_zy = f(x) lineal

Las primeras derivadas dan cte ó cero, y las segundas derivadas son todas nulas. Verifican las ecuaciones de compatibilidad.

Conclusión:

Concluimos que para el problema de torsión simple (sin considerar el peso propio), la solución tensional brindada por la Resistencia de Materiales no es aceptable, ya que la hemos verificado mediante la teoría de la elasticidad.

Lo estudiado en Resistencia de Materiales, se cumple para el caso de Compresión Simple y Flexión Simple, pero no se cumple para Torsión Simple, ya que las tensiones no son proporcionales a la distancia radial, como explica la Resistencia de Materiales.

En deformaciones