2018 – Año del Centenario de la Reforma Universitaria”

descargar programa

Año 2020

PROGRAMA ANALÍTICO
Asignatura: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Departamento: Matérias Básicas
Unidad Docente Básica: Matemática
Bloque: Ciencias Básicas                                                                               Área: Matemática
Especialidad: COMÚN A TODAS LAS ESPECIALIDADES
Curso: Primer Año.
Carga Horaria: 160  horas por año, en un semestre de 10 horas por semana

I. Objetivos

El alumno deberá:

Apreciar el valor instrumental del Álgebra y la Geometría, relacionándolas con las demás ciencias del currículum.
Articular el Álgebra con el Análisis Matemático I y posteriormente con el Análisis Matemático II.
Comprender la importancia de esta asignatura en la formación de espíritus críticos.
Articular el registro algebraico con el del lenguaje natural y el gráfico (de ser posible), haciendo representaciones y tratamiento de conjeturas en dichos registros.
Entrenar al estudiante en el uso de paquetes computacionales especializados que permitan realizar las operaciones involucradas.
Lograr habilidad para realizar análisis y síntesis.
Identificar sus errores, respuestas incompletas e imprecisiones.
Desarrollar la capacidad de participación, de iniciativa y responsabilidad.

II. Contenidos del Programa Analítico

Unidad Temática 1: Matrices
Definición. Igualdad de matrices. Tipos de matrices: nula, fila, columna, cuadrada, rectangular, diagonal, escalar, identidad, transpuesta, simétrica, hermitiana, antisimétrica. Operaciones con matrices. Propiedades del Álgebra matricial. Operaciones elementales. Matriz elemental. Equivalencia de matrices. Rango de una matriz: definición y cálculo. Matriz inversa: definición y propiedades. Cálculo de la inversa: por transformaciones elementales, por método de Gauss-Jordan. Matrices particionadas.

Unidad Temática 2: Función Determinante
Productos elementales en una matriz cuadrada. Signo. Definición de determinante. Propiedades de los determinantes.
Menores complementarios y cofactores. Cálculo de determinantes: regla de Sarrus, regla de Laplace o desarrollo por factores, regla de Chio. Cálculo de la inversa de una matriz utilizando determinantes.

Unidad Temática 3: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Definición. Expresión matricial. Tipos de sistemas: cuadrados, rectangulares, homogéneos. Sistemas compatibles determinados e indeterminados. Sistemas incompatibles. Conjunto solución. Análisis de un sistema de ecuaciones lineales: Teorema de Rouché-Frobenius. Resolución de sistemas: por método matricial inverso, método de Eliminación de Gauss, método de Eliminación de Gauss-Jordan. Regla de Cramer. Aplicaciones a la distribución de población. Descomposición LU. Casos simples de programación lineal.

Unidad Temática 4: Vectores y Espacios Vectoriales
Introducción geométrica al estudio de los vectores. Adición de vectores y multiplicación por escalares en IR2 y IR3: propiedades. Producto escalar, vectorial y mixto. Propiedades. Rectas y planos en IR2 y IR3: ecuaciones paramétricas.
Espacio vectorial: definición, ejemplos y propiedades.
Subespacios: definición, ejemplos y condición necesaria y suficiente. Combinación lineal. Dependencia e independencia lineal. Conjunto generador. Base y dimensión. Coordenadas de un vector.

Unidad Temática 5: Espacios Vectoriales con Producto Interior
Función producto interior: definición y ejemplos. Desigualdad de Cauchy- Schwarz. Norma de un vector. Distancia entre dos puntos. Ángulo entre vectores. Ortogonalidad. Proyecciones ortogonales. Bases ortonormales.

Unidad Temática 6: Transformaciones Lineales
Definición. Ejemplos. Propiedades de las transformaciones. Transformación nula. Transformación identidad. Transformación matricial. Transformaciones geométricas: dilataciones, simetrías, rotaciones, etc. Núcleo e imagen de una transformación lineal: definiciones y propiedades. Rango y nulidad de una transformación lineal. Teorema de la dimensión. Aplicación a sistemas de ecuaciones lineales. Representación matricial de transformaciones lineales. Cambio de base. Matrices semejantes.

Unidad Temática 7: Valores y Vectores Propios. Diagonalización
Valores y vectores propios o característicos de una matriz. Ecuación característica. Polinomio característico. Espacios característicos. Diagonalización. Diagonalización ortogonal.

Unidad Temática 8: Aplicaciones a Geometría Analítica
Ecuación cuadrática. Forma cuadrática asociada. Matriz de la forma cuadrática. Matrices definidas positivas, semidefinidas positivas, definidas negativas y semidefinidas negativas: definición y condiciones necesarias y suficientes. Cónicas no degeneradas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Posición normal. Teorema de los ejes principales en IR2. Superficies cuadráticas. Teorema de los ejes principales en IR3. Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Computación numérica y simbólica aplicada al Álgebra

Trabajos Prácticos

• Nº 1:  Matrices
• Nº 2:  Determinantes
• Nº 3:  Sistemas de Ecuaciones Lineales
• Nº 4:  Vectores en IR2 y en IR3
• Nº 5:  Espacios Vectoriales
• Nº 6:  Espacios con Producto Interior
• Nº 7:  Transformaciones Lineales
• Nº 8: Valores y Vectores Propios. Diagonalización
• Nº 9:  Formas Cuadráticas

III. Metodología

El proceso de enseñanza- aprendizaje se realizará bajo la hipótesis del aprendizaje constructivista en clases teórico- prácticas utilizando el método propio de la matemática en cualquiera de sus ramas que es el de Resolución de Problemas. Se diseñarán, en lo posible, situaciones didácticas (Brousseau, 1987) acordes al perfil del ingeniero tecnológico.

BIBLIOGRAFÍA GENERAL

ANTON, H. (1987). Introducción al Álgebra Lineal. Ed. Limusa.
GROSSMAN, S. I. (1992). Álgebra Lineal con Aplicaciones. Mc Graw Hill.
KOLMAN, B. (1999). Álgebra Lineal. Ed. Prentice-Hall.
LANG S. (1990). Introducción al Álgebra Lineal. Addison- Wesley Iberoamericana.
NOBLE, B. Y DANIEL J. (1989). Álgebra Lineal Aplicada. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana. México.
STRANG, G. (1988). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Fondo Educativo Interamericano. México.
FRALEIGH - BEAUREGARD (1989). Álgebra Lineal. Addison - Wesley Iberoamericana.

UNIDAD 1: MATRICES

Algunas demostraciones

Resolución de algunos ejercicios del TP n°1